Satz des Pythagoras Rechner
Berechne fehlende Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck ($a^2 + b^2 = c^2$).
Der Satz des Pythagoras: Geometrische Grundlagen
Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Lehrsätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate exakt dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats entspricht:
a² + b² = c²
Die Hypotenuse ($c$) ist dabei stets die längste Seite des Dreiecks und liegt dem rechten $90^\circ$-Winkel genau gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel bilden, nennt man Katheten ($a$ und $b$).
Klassische Pythagoreische Tripel im Überblick
| Kathete a | Kathete b | Hypotenuse c | Rechnerische Probe (a² + b² = c²) |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² |
| 5 | 12 | 13 | 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² |
| 6 | 8 | 10 | 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² |
| 8 | 15 | 17 | 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² |
Praxisbeispiel: Leiter an einer Hauswand
Eine Leiter soll ein Fenster in 4,00 m Höhe ($b$) erreichen. Aus Sicherheitsgründen muss der Fuß der Leiter 1,50 m von der Hauswand ($a$) entfernt stehen. Wie lang muss die Leiter ($c$) sein?
Die Leiter muss mindestens 4,27 m lang sein, um das Fenster im sicheren Anstellwinkel zu erreichen.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie prüft man, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Über den Kehrsatz des Pythagoras: Ergibt die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten genau das Quadrat der längsten Seite ($a^2 + b^2 = c^2$), ist das Dreieck garantiert rechtwinklig. Ist $a^2 + b^2 > c^2$, ist es spitzwinklig; ist $a^2 + b^2 < c^2$, ist es stumpfwinklig.
Wie berechnet man Seiten in Dreiecken ohne rechten Winkel?
Für beliebige Dreiecke verwendet man den Kosinussatz ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$) oder den Sinussatz.